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Kegelbrunnen

Doppelt und noch viel mehr

Im Park sprudelt es aus diversen Brunnen und Fontainen. Besonders auffällig ist eine Wasserschale, die auf einer Spitze zu balancieren scheint. Der Körper hat eine strenge geometrische Form. Daher rinnt das wasser gleichmäßig auf allen Seiten über den kreisförmigen Rand, bevor es vom Boden verschluckt wird.

Die Spitze macht diese Form so interessant. Von jedem Punkt am Rand der kegelförmigen Schale gibt es eine direkte Verbindung zu dem Punkt auf dem Boden, auf welchem die Schale ruht. Nimmt man alle diese Linien zusammen, so bilden sie die Form der Schale. Man spricht vom Mantel des Kegels. Die Grundfläche des Kegels ist in diesem Fall nicht unten sondern oben und zudem offen. Ist er vollständig mit Wasser gefüllt, so ist entspricht die Wasseroberfläche der Grundfläche.

Wie verhält es sich beim Füllen dieses Brunnens mit Wasser? Es ist anders als bei vielen anderen Gefäßen in unserem Alltag. Füllt man eine Dose bis zur halben Höhe, so ist auch das Volumen halb ausgefüllt. Bei einer zur Hälfte gefüllten Flasche (gemessen vom Boden bis zum Verschluss), ist sogar schon mehr als die Hälfte des Inhalts gefüllt, da sich Flaschen nach oben hin verjüngen. Nicht so bei diesem Kegelbrunnen. Füllt man ihn bis zur halben Höhe, hat man bei weitem noch nicht die Hälfte des insgesamt möglichen Wassers darin. Sie können eine Vermutung aufstellen. Wenn ich den Kegel bis zur halben Höhe fülle: Wie viel mal so viel Wasser passt in die obere Hälfte?

Das Ergebnis ist verblüffend, weil es deutlich mehr ist, als in der Regel geschätzt wird. Es passt noch sieben Mal so viel Wasser hinein. Teilt man das Volumen des Kegels auf halber Höhe, so ist ein Achtel des Volumens in der Spitze und die anderen sieben Achtel im „Rest“. Diesen Rest nennt man Kegelstumpf, was wunderbar zu einem nicht-mehr-spitzen Kegel passt.

Doch woher stammt der Faktor acht in dieser Überlegung? Dazu müssen wir zwei Aspekte betrachten. Ein unterschied zwischen einem bis zur halben Höhe gefüllten Kegel und der vollen Version ist natürlich in der Verdopplung der Höhe. Gleichzeitig wird auch die Wasseroberfläche größer. Die kreisförmige Oberfläche hat bei halber Füllung die Hälfte des Durchmessers. Die Vergrößerung der Oberfläche beim Auffüllen bringt bringt eine Vervierfachung der Oberfläche mit sich, da der Durchmesser zweifach (genauer „hoch 2“) in die Flächenberechung des Kreises eingeht. Alles geht in die Berechnung des Volumens ein: Die Veränderung der Höhe und der Wasseroberfläche. Es gibt also insgesamt eine dreifache Verdopplung, kurz eine Verachtfachung: 2 * 2 * 2 = 8.

Die Besonderheiten des Kegels spielen auch im Nachtleben eine Rolle. Testen Sie doch einmal in den Bars Ihrer Umgebung, wie viel im Martini-Glas eingeschenkt wird. Die Füllhöhe hat bei einem im Kegel servierten Getränk deutlich stärkere Auswirkungen als in einem zylinderförmigen Glas. Vielleicht diskutieren Sie an der Bar dann gleich noch, welcher Anteil der Füllhöhe des Glases erreicht sein muss, damit das Glas exakt zur Hälfte des Volumens gefüllt ist…

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