Linien

Mathe geht unter die Haut: Die nachfolgende Aufstellung beantwortet die Frage nach der Bedeutung meiner Tattoos.

Fibonaccizahlen

Die nach Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci, benannte Zahlenfolge beginnt mit zwei Einsen. Die nächste Zahl erhält man durch Addition der beiden Vorgänger:

1 + 1 = 2
1 + 2 = 3
2 + 3 = 5
3 + 5 = 8
5 + 8 = 13

Der Abstand zwischen den ersten drei roten Linien auf meinem Arm beträgt jeweils eins, der zwischen der dritten und vierten Linie beträgt zwei. Der nächste Abstand ist drei, dann fünf, 13 usw. Die dunkle, an der Hand auslaufende Linie entlang des Arms verdeutlicht, dass diese Zahlenfolge unendlich fortgesetzt werden kann.

Teilt man zwei benachbarte Fibonaccizahlen durcheinander so erhält man einen Näherungswert für die Zahl Phi:

1 : 1 = 1
2 : 1 = 2
3 : 2 = 1,5
5 : 3 = 1,666…
8 : 5 = 1,6
13 : 8 = 1,625

Die berechnung wird immer genauer, je weiter „hinten“ in der Fibonacci-Folge man die benachbarten Zahlen auswählt.

Phi

Die Zahl Phi kann nicht nur näherungsweise aus den Fibonaccizahlen sondern ganz exakt durch lösen einer Gleichung bestimmen. Diese Gleichung ergibt sich aus der Definition des goldenen Schnittes:

Als Goldener Schnitt wird das Teilungsverhältnis einer Strecke bezeichnet, bei dem das Verhältnis des Ganzen zu seinem größeren Teil dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil gleich ist.

Der exakte Wert dieses Teilungsverhältnisses ist Phi: Die Hälfte von 1 plus der Wurzel aus 5. Der große Buchstabe Phi im griechischen Alphabet besteht aus einer senkrechten Linie durch einen Kreis, wie es das obere Ende des Tattoos auf dem Arm bildet.

Goldener Winkel

Der Kreis im Nacken zeigt den Goldenen Winkel. Diesen erhält man, wenn ein Winkel von 360° entsprechend des Verhältnisses des Goldenen Schnitts in einen größeren und einen kleineren Teil unterteilt wird. Der größere Winkel hat ein Maß von 360° geteilt durch die Zahl Phi:

360° : 1,618 = 222,5°

Als goldener Winkel wird der kleinere Winkel von 137.5° bezeichnet, welcher den berechneten Winkel zu 360° ergänzt:

360° – 222,5° = 137,5°

Das Verhältnis der beiden Winkel entspricht einem Verhältnis von 1 : Phi.

Der goldene Winkel taucht an vielen Stellen in der Natur auf. Bei diversen Pflanzen wachsen die Blätter stufenweise im goldenen Winkel verdreht. Dadurch wird sichergestellt, dass alle Blätter genug Licht erhalten. Neue Blätter wachsen immer möglichst weit von den bestehenden Blättern entfernt.

Goldenes Dreieck

Zeichnet man in einem regelmäßigen Fünfeck zwei Diagonalen ein, welche sich in einer Ecke treffen, so bilden diese ein gleichseitiges Dreieck, also eines mit zwei gleich langen Seiten, welches in meinem Fall rot gefärbt ist. Teilt man die Länge der beiden längeren Seiten durch die Länge der kürzeren Seite des Dreiecks, so ergibt sich die Zahl Phi. Das Seitenverhältnis ist somit im Verhältnis des goldenen Schnittes. Man spricht daher von einem „goldenen Dreieck“.

Die gestrichelte Linie ist eine weitere Diagonale des Fünfecks. Diese teilt das rote Dreick in zwei Teile. Beide Teildreicke haben jeweils zwei gleich lange Seiten und in beiden Teildreicken sind die Seitenlängen ebenfalls im Verhältnis des goldenen Schnittes.

Goldenes Rechteck

Die vier Quadrate auf der rechten Wade sind von unten nach oben gelesen eine Anleitung zum Falten eines goldenen Rechtecks aus einem Quadrat. Die Schritte lauten in Kurzform wie folgt:

Eine Mittellinie des Blattes falten.
In einem der beiden Rechtecke eine Diagonale falten.
Den Winkel zwischen der Diagonale und der unteren Kante halbieren.
An der Stelle, an der die letzte Falte, den Blattrand trifft, eine Senkrechte zum Blattrand falten.

Siehe auch A. Beutelspacher und M. Wagner: Wie man einen Würfel aufpustet.

Rechtwinkliges Dreieck

Die vier Quadrate auf der linken Wade sind von unten nach oben gelesen eine Anleitung zum Falten eines rechtwinkligen Dreiecks aus einem Quadrat. Die Schritte lauten in Kurzform wie folgt:

Eine Mittellinie des Blattes falten.
In beiden Rechtecken jeweils eine Diagonale falten, so dass sich beide Diagonalen oben in einem Punkt treffen.
Die zweite Mittellinie des Blattes falten.
Im unteren Rechteck eine Diagonale falten.
Die drei Diagonalen bilden ein rechtwinkliges Dreieck.

Das Dreieck hat die Besonderheit, dass die drei Seitenlängen das bekannteste pythagoräische Tripel bilden: Die Zahlen drei, vier und fünf. Setzt man diese drei Zahlen in die Gleichung aus dem Satz des Pythagoras passend ein, so ergibt sich eine wahre Aussage: 3² + 4² = 5².

Den Beweis hierzu findet man auf dieser Website: Mathematische Basteleien