Weltkugel

Die Erde ist nicht flach

Die Weltkugel fasziniert manchen Kunstschaffenden und ziert daher Brunnen, Denkmale und Erinnerungsorte. Steht sie nicht frei, wird sie von einem Atlanten getragen oder in das Haltesystem eines Globus eingespannt. Je nach Bezug steht die Drehachse der Erde mal senkrecht und mal schräg. Auf der Erdkugel können die Kontinente und Meere, Längen- und Breitengrade oder andere typische Merkmale wie charakteristische Tiere und Gebäude dargestellt sein.

Das Koordinatensystem aus Längen- und Breitengraden ist der Versuch, Ordnung auf die Kugel zu bekommen. So wird das aus der Ebene bekannte Koordinatensystem (siehe auch Hydrantenschild) abgewandelt und auf die Kugel gelegt. Der Koordinatenursprung liegt auf dem Äquator in Verlängerung des durch Greenwich verlaufenden Längengrades. Von dort auch kann man jeden Ort mit Hilfe von wenigen Zahlen beschreiben, indem man angibt wie weit man nach Norden oder Süden sowie nach Osten oder Westen gehen muss.

Genau wie in der Ebene gibt es auf der Erdkugel geometrischen Objekte wie Punkte, Linien und Formen. Allerding sind die Eigenschaften dieser Objekte auf der Kugel teilweise etwas anders. Betrachten wir ein Dreieck. In der Ebene besteht dies aus drei Eckpunkten und drei geraden Verbindungslinien. Addiert man die Winkel an den Ecken des Dreiecks, so ergibt sich immer eine Summe von 180°. Je nachdem wie groß die Winkel an den Ecken sind, werden die Dreiecke kategorisiert in spitzwinklige, stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke. Letztere sind in der Mathematik besonders beliebt. Sie haben einen rechten Winkel mit 90°. Die beiden verbleibenden Winkel müssen daher jeweils weniger als 90° betragen, da sie zusammen mit dem rechten Winkel die Innenwinkelsumme des Dreiecks von 180° ergeben. Noch beliebter ist das gleichseitige Dreieck, weil es am “ordentlichsten” ist: Es hat drei gleich lange Seiten. Daraus ergibt sich an jeder Ecke ein 60°-Winkel. Ein Dreieck kann somit nicht gleichzeitig ein rechtwinkliges und ein gleichseitiges Dreieck sein.

Doch gilt das auch auf unserer Erdkugel? Machen wir dazu ein Gedankenexperiment. Wir starten ganz “oben” am Nordpol und laufen auf kürzestem Wege bis zum Äquator. Dort angekommen drehen wir uns um 90° nach rechts und bewegen uns entlang der Äquatorlinie bis wir ein Viertel der Erde umrundet haben. Wir drehen uns erneut um 90° nach rechts und laufen auf kürzestem Wege zurück zum Nordpol. Wenn wir uns dort ein drittes Mal um 90° nach rechts drehen, stehen wir wieder in der Anfangsposition. Der Weg, den wir beschrieben haben, bildet ein Dreieck. Dieses Dreieck hat drei gleich lange Seiten, da wir jeweils eine Viertel Umrundung der Erde machen. Es ist also ein gleichseitiges Dreieck. Da wir uns immer um 90° gedreht haben, hat dieses Dreieck sogar drei rechte Winkel. Diese Kombination von gleich langen Seiten und 90° Winkeln ist in der Ebene unmöglich.

Weitere Besonderheiten ergeben sich für andere uns bekannte Objekte auf der Kugel. So gibt es keine Parallelen. Laufe ich entlang der Äquators um die Erde, überschreite ich in regelmäßigen Abständen die Längengrade. Diese stehen immer im rechten Winkel zum Äquator und scheinen daher parallel zu sein. Doch Großkreise, wie sie von den Längengraden gebildet werden, schneiden sich immer im Nord- und Südpol, sind also nicht parallel.

Die Kugel als Zeichenfläche bietet nicht nur Einschränkungen. Es gibt auf ihr viele geometrische Objekte, die in der Ebene unmöglich sind. Suchen Sie ein “Zweieck” auf unserer Erdkugel, also ein Objekt mit zwei Eckpunkten, die durch gerade Linien verbunden sind. Das Gedankenexperiment mit dem Spaziergang vom Nordpol aus, kann man dazu etwas abwandeln.

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