Trampelpfade

Auf kürzestem Weg über den Platz

Grünflächen unterbrechen das Häusermeer und bieten Platz zum Erholen. Auf der Wiese wird Ball gespielt oder auf einer Bank ein Buch gelesen. Man bleibt dabei unbehelligt vom Verkehr, der die Wiese umrunden muss. Ab und zu hastet ein Fußgänger über den Platz oder ein Radfahrer kreuzt die Fläche.

Dort wo häufig Fußgänger oder Radfahrer das Grün kreuzen hat die Grasnarbe eine deuliche Spur bekommen. Mehrere Trampelpfade verbinden deutlich sichtbar die auf den Platz einmündenden Wege und zeigen an, wie man den Platz als Abkürzung nutzen kann. Fußweg-Kreuzungen zeichnen sich ab. Je nach Form des Platzes scheint es mehr oder weniger Trampelpfade zu geben.

Bei einem rechteckigen Platz ist die Sache meist übersichtlich. Dort verbindet ein Trampelpfad in der Regel zwei gegenüberliegende Ecken und ein zweiter Trampelpfad die beiden verbliebenen Ecken. Die Trampfelpfade entsprechen den Diagonalen.

So ähnlich ist das auch bei allen anderen regelmäßig geformten Plätzen zu erwarten, bei denen die Pfade gegenüberliegende Ecken verbinden. Bei einem Fünfeck zum Beispiel gibt es zwei gegenüberliegende Ecken. Man zählt insgesamt fünf Diagonalen. Diese Zahl kann man auch berechnen: 5 Ecken mal 2 Diagonalen pro Ecke ergibt 10. In diesem Fall wurden jedoch alle Diagonalen doppelt gezählt: Von beiden Enden aus. Daher muss man noch durch 2 teilen, um das richtige Ergebnis 5 zu bekommen.

Die gleiche Überlegung kann man für die Bestimmung der Diagonalen im Seckeck benutzen. Diagonalen sind alle Verbindungen zwischen zwei Ecken, die mitten durch die Form verlaufen. Die Verbindungen von einer Ecke zu einer Nachbarecke zählen nicht dazu. Diese entsprechen dem Rand des Platzes wo sich die Straßen befinden und keine Trampelpfade entstehen. Im Sechseck gehen somit von jeder Ecke drei Diagonalen aus. 6 Ecken mal 3 Diagonalen pro Ecke geteilt durch 2 (wegen der doppelten Zählung der Diagonalen von jedem Ende aus) ergibt 9 Diagonalen. Ein sechseckiger Platz hätte also neun Trampelpfade.

Für alle regulären Vielecke, also Flächen, bei denen alle Seiten gleich lang und alle Winkel an den Ecken gleich groß sind, lässt sich mit Hilfe unserer Überlegung die Zahl der Diagonalen leicht berechnen. Nehmen wir eine beliebige Zahl von Ecken und nennen diese Zahl n. Von den Ecken gehen immer n-3 Diagnoalen aus. Bei einem Viereck sind es 4 – 3 = 1 Diagonale, bei einem Fünfecke 5 – 3 = 2 Diagonalen. Das liegt daran, dass die Ecke weder mit sich selbst noch mit ihren beiden direkten Nachbarn verbunden werden muss. Also lautet die Formel zur Diagonalen berechnung bei regulären Vielecken: n Ecken mal n-3 Diagonalen pro Ecke durch 2 oder kurz n*(n-3) : 2.

In der Stadtplanung geht es oftmals nicht so „ordentlich“ wie in der Mathematik zu. Da gibt es zum Beispiel auch rechteckige auch Plätze, bei denen nicht nur an den Ecken Straßen einmünden, sondern auch mitten an einer Seite. In diesem Fall gibt es auch Trampelpfade, die nicht an einer Ecke des Platzes beginnen oder enden.

Schauen Sie sich einmel in ihrem Umfeld um: Wo gibt es Trampelpfade zur Abkürzung? Welche Stellen werden mit diesen verbunden? Welche Form hat die Fläche, auf der sich der Trampfelfad befindet? Sind alle möglichen Trampelpfade vorhanden? Warum fehlen manche?

Eine Übersicht über die Eigenschaften regelmäßiger Vielecke gibt es hier.

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